怎么证明子空间

要证明一个集合是线性空间的子空间，需要验证该集合满足以下两个条件：

加法封闭性：

如果集合中的任意两个元素相加，结果仍然在该集合中。

数乘封闭性：

如果集合中的任意元素乘以数域中的任意数，结果仍然在该集合中。

具体步骤如下：

零元素存在性：

证明集合中包含零元素。

加法封闭性证明：

任取集合中的两个元素 \（ \alpha, \beta \），证明 \（ \alpha + \beta \） 仍在集合中。

数乘封闭性证明：

任取集合中的元素 \（ \alpha \） 和数域中的任意数 \（ k \），证明 \（ k\alpha \） 仍在集合中。

举个例子，假设我们要证明 \（ U \） 是 \（ \mathbb{R}^3 \） 的子空间，可以按照以下步骤进行：

零元素存在性：

零向量 \（ \vec{0} = （0,0,0） \） 属于 \（ U \）。

加法封闭性证明：

任取 \（ \alpha = （a_1, a_2, a_3） \） 和 \（ \beta = （b_1, b_2, b_3） \） 属于 \（ U \），则 \（ \alpha + \beta = （a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3） \）。由于 \（ a_2 = a_1 + a_3 \） 和 \（ b_2 = b_1 + b_3 \），所以 \（ \alpha + \beta \） 的第二个分量 \（ a_2 + b_2 = （a_1 + a_3） + （b_1 + b_3） = （a_1 + b_1） + （a_3 + b_3） \），即 \（ \alpha + \beta \） 仍在 \（ U \） 中。

数乘封闭性证明：

任取 \（ \alpha = （a_1, a_2, a_3） \） 属于 \（ U \） 和任意实数 \（ k \），则 \（ k\alpha = （ka_1, ka_2, ka_3） \）。由于 \（ a_2 = a_1 + a_3 \），所以 \（ ka_2 = k（a_1 + a_3） = ka_1 + ka_3 \），即 \（ k\alpha \） 仍在 \（ U \） 中。

以上步骤证明了 \（ U \） 是 \（ \mathbb{R}^3 \） 的子空间。